۱- در شکل‌های زیر عمودمنصف‌های سه ضلع مثلث‌ها را رسم کنید: آیا فقط با توجه به این شکل‌ها، می‌توان نتیجه گرفت که محل برخورد عمودمنصف‌های هر مثلث همیشه درون مثلث قرار دارد؟ چگونه می‌توانید درستی ادعای خود را نشان دهید؟
پاسخ تشریحی:
**رسم عمودمنصف‌ها:**
عمودمنصف یک پاره‌خط، خطی است که آن پاره‌خط را نصف کرده و بر آن عمود است. با رسم سه عمودمنصف برای هر یک از مثلث‌های داده شده (که همگی حاده‌الزاویه هستند)، مشاهده می‌کنیم که محل برخورد آنها در هر سه مورد، نقطه‌ای **درون مثلث** است.
**آیا می‌توان نتیجه گرفت که این ویژگی همیشگی است؟**
**خیر**. فقط با توجه به این سه مثال نمی‌توان چنین نتیجه‌ی کلی‌ای گرفت. این نوع نتیجه‌گیری بر اساس چند مشاهده، **استدلال استقرایی** نام دارد و ممکن است ما را به نتیجه‌ی اشتباه برساند.
**چگونه درستی ادعای خود را نشان دهیم؟**
برای اینکه نشان دهیم این ادعا (که محل برخورد همیشه درون مثلث است) درست نیست، باید یک **مثال نقض** بیاوریم.
* **مثال نقض:** یک **مثلث منفرجه‌الزاویه** (مثلثی با یک زاویه‌ی بزرگتر از ۹۰ درجه) رسم می‌کنیم.
اگر عمودمنصف‌های اضلاع یک مثلث منفرجه‌الزاویه را رسم کنیم، مشاهده می‌کنیم که محل برخورد آنها نقطه‌ای در **خارج از مثلث** خواهد بود.
بنابراین، محل برخورد عمودمنصف‌ها همیشه درون مثلث قرار ندارد.
۲- نیما و پژمان ... عقیده داشتند که وزنه‌بردار نمی‌تواند وزنه را بلند کند... نیما: زیرا هفته‌ی پیش ... نتوانست وزنه‌ی ۹۰ کیلویی را بلند کند. پژمان: امروز دوشنبه است... او هیچ‌گاه در روزهای زوج موفق نبوده است. استدلال کدام یک قابل اعتمادتر است؟ درباره‌ی استدلال‌ها بحث کنید.
پاسخ تشریحی:
این سوال دو نوع استدلال غیررسمی را مقایسه می‌کند. برای ارزیابی آنها، باید ارتباط منطقی بین دلیل و ادعا را بررسی کنیم.
* **استدلال نیما:**
دلیل نیما بر یک مقایسه‌ی منطقی استوار است: اگر وزنه‌بردار در شرایط بهتر (هفته پیش با تمرینات بهتر) نتوانسته وزنه‌ی سبک‌تر (۹۰ کیلوگرم) را بزند، پس به احتمال زیاد امروز هم نمی‌تواند وزنه‌ی سنگین‌تر (۱۰۰ کیلوگرم) را بزنَد. این استدلال بر اساس **عملکرد ورزشی** و یک **رابطه‌ی منطقی** (از ساده به دشوار) بنا شده است.
* **استدلال پژمان:**
دلیل پژمان بر اساس یک مشاهده‌ی بی‌ربط و **خرافاتی** است. هیچ رابطه‌ی علت و معلولی بین زوج بودن یک روز هفته و قدرت یک ورزشکار وجود ندارد. این که وزنه‌بردار در گذشته در روزهای زوج موفق نبوده، یک تصادف است و دلیلی منطقی برای شکست او در آینده نیست.
**نتیجه‌گیری:**
استدلال **نیما قابل اعتمادتر است**. اگرچه استدلال نیما نیز نتیجه‌ای قطعی به دست نمی‌دهد (زیرا ممکن است حال وزنه‌بردار امروز بسیار بهتر باشد)، اما دلیل او (عملکرد گذشته در یک آزمون مشابه) به موضوع مورد بحث **مرتبط** است. در مقابل، استدلال پژمان بر پایه‌ی یک دلیل **نامرتبط** و خرافی است و هیچ ارزش منطقی ندارد.
۳- «چون من تا به حال هیچ‌وقت تصادف نکرده‌ام، در سفر آینده نیز تصادف نخواهم کرد.» این استدلال مشابه کدام‌یک از استدلال‌های زیر است؟
پاسخ تشریحی:
استدلال اصلی یک نمونه از **استدلال استقرایی** است. در این نوع استدلال، فرد بر اساس تجربه‌ها و مشاهدات گذشته‌ی خود، نتیجه‌ای را برای آینده پیش‌بینی می‌کند. (گذشته: همیشه بدون تصادف -> آینده: بدون تصادف خواهد بود).
حال گزینه‌ها را بررسی می‌کنیم تا موردی با ساختار مشابه را پیدا کنیم:
* **الف) ...** این یک استدلال نادرست است که ویژگی یک گروه را به گروه دیگری تعمیم می‌دهد، اما ساختار پیش‌بینی آینده را ندارد.
* **ب) ...** این یک استدلال نادرست از نوع «مغالطه‌ی تأیید تالی» است (اگر A آنگاه B. چون B درست است، پس A هم درست است). ساختار آن با استدلال اصلی متفاوت است.
* **ج) چون تمام بچه‌های خاله‌های من دختر هستند، پس بچه‌ی خاله‌ی کوچکم هم که به زودی به دنیا می‌آید دختر خواهد بود.**
این استدلال **دقیقاً مشابه** استدلال اصلی است. فرد یک الگو را در گذشته مشاهده کرده است (همه‌ی بچه‌های قبلی دختر بوده‌اند) و بر اساس آن، رویداد بعدی در همان الگو را پیش‌بینی می‌کند (بچه‌ی بعدی هم دختر خواهد بود). این یک استدلال استقرایی است.
* **د) ...** این استدلال از یک قاعده‌ی کلی (همه‌ی قرص‌های مسکن خواب‌آورند) به یک نتیجه در مورد یک ماده‌ی داخلی می‌رسد که بیشتر به استدلال استنتاجی نزدیک است تا استقرایی.
بنابراین، پاسخ صحیح **گزینه‌ی (ج)** است.
۴- حمید و وحید می‌دانستند که علی، حسن، حسین و باقر برادرند... هر دو نفر اعتقاد داشتند که علی از حسن بزرگتر است؛ اما استدلال‌های متفاوتی می‌کردند. حمید: در تمام خانواده‌هایی که دو فرزند به نام‌های علی و حسین داشته‌اند، علی فرزند بزرگتر بوده است. وحید: چون علی از حسین بزرگتر و حسین از حسن کوچکتر است، پس علی از حسن بزرگتر است. استدلال کدام یک درست است؟
پاسخ تشریحی:
برای ارزیابی استدلال‌ها، ابتدا باید ببینیم آیا نتیجه‌گیری آنها از نظر منطقی صحیح است یا خیر.
* **استدلال حمید:**
دلیل حمید یک **استدلال استقرایی** بر اساس یک قاعده‌ی کلی بی‌ربط (نام افراد در خانواده‌های دیگر) است. این که در خانواده‌های دیگر «علی» از «حسین» بزرگتر بوده، هیچ ارتباط منطقی و قطعی با سن علی و حسین در این خانواده‌ی خاص ندارد. بنابراین، استدلال حمید **نادرست و غیرقابل اعتماد** است.
* **استدلال وحید:**
وحید تلاش می‌کند از **استدلال استنتاجی** استفاده کند، یعنی با کنار هم گذاشتن اطلاعات داده شده به نتیجه برسد. اطلاعاتی که وحید استفاده می‌کند عبارتند از:
۱. علی از حسین بزرگتر است ($ علی > حسین $)
۲. حسین از حسن کوچکتر است ($ حسین < حسن $ یا $ حسن > حسین $)
نتیجه‌گیری وحید: پس علی از حسن بزرگتر است ($ علی > حسن $).
این نتیجه‌گیری از این دو مقدمه به دست **نمی‌آید**. صرف اینکه دو نفر (علی و حسن) هر دو از نفر سوم (حسین) بزرگتر هستند، به ما اجازه نمی‌دهد آن دو نفر را با هم مقایسه کنیم. پس **استدلال وحید نیز نادرست است**.
**نتیجه‌گیری نهایی:**
**هیچ‌کدام** از دو استدلال ارائه شده، درست نیستند. استدلال حمید به دلیل استفاده از مقدمات نامرتبط، و استدلال وحید به دلیل نتیجه‌گیری منطقی اشتباه از مقدمات، هر دو نادرست می‌باشند.
**نکته:** هرچند با استفاده از اطلاعات دیگر مسئله ($ حسن < باقر $ و $ باقر < علی $)، می‌توان نتیجه گرفت که $ حسن < علی $، اما خودِ استدلال وحید برای رسیدن به این نتیجه صحیح نیست.
۵- معلم از دانش‌آموزان خواست با استدلال ریاضی ثابت کنند که در مثلث متساوی‌الساقین زاویه‌های مجاور به قاعده با هم برابرند. احمد زاویه‌ها را با نقاله اندازه‌گیری کرد و نتیجه گرفت که زاویه‌ها مساوی هستند. چرا این روش برای اثبات کردن درست نیست؟ چرا اندازه‌گیری روش مناسبی برای نتیجه‌گیری نیست؟
پاسخ تشریحی:
روش احمد یک **اثبات ریاضی** محسوب نمی‌شود و به دو دلیل اصلی درست نیست:
۱. **عدم تعمیم‌پذیری (Lack of Generality):**
اثبات ریاضی باید برای **همه‌ی موارد ممکن** صادق باشد. احمد فقط یک یا چند مثلث متساوی‌الساقین خاص را اندازه گرفته است. این کار نشان نمی‌دهد که این ویژگی برای بی‌نهایت مثلث متساوی‌الساقین دیگری که می‌توان رسم کرد نیز برقرار است. این روش صرفاً یک **آزمون** یا **مشاهده** است، نه یک اثبات کلی.
۲. **خطای اندازه‌گیری (Measurement Error):**
هر وسیله‌ی اندازه‌گیری فیزیکی، مانند نقاله، دارای **خطا** است. ممکن است زاویه‌ها در واقعیت $۶۰.۱$ درجه و $۵۹.۹$ درجه باشند، اما نقاله هر دو را ۶۰ درجه نشان دهد. اندازه‌گیری نمی‌تواند دقت و قطعیت مطلق مورد نیاز در اثبات‌های ریاضی را فراهم کند.
**چرا اندازه‌گیری برای نتیجه‌گیری (اثبات) مناسب نیست؟**
اندازه‌گیری روشی **استقرایی** است؛ یعنی از مشاهده‌ی چند نمونه‌ی خاص به یک نتیجه‌ی کلی می‌رسد. در حالی که اثبات ریاضی نیازمند **استدلال استنتاجی** است که در آن نتیجه به طور قطعی و منطقی از اصول و تعاریف اولیه (اصول موضوعه) به دست می‌آید. یک اثبات ریاضی باید مستقل از هرگونه اندازه‌گیری فیزیکی و برای تمام حالات ممکن معتبر باشد.
